概率论基础

统计学是应用，而概率论则是统计学的理论基础，所以我们需要了解一些概率论的基础知识。

随机事件及概率

随机事件

例如，在相同的条件下，多次抛掷一个骰子，观察它的点数。

这个行为就叫作试验，抛掷一次出现的点数叫作事件。
所以，为了研究某些事物或现象，对事物或现象进行观察或者实验叫作试验，把试验的结果叫作事件。
如果在相同条件下，每次试验可能出现也可能不出现的事件，叫作随机事件，或者偶然事件。
如果每次试验都必然出现，则是必然事件。
如果每次试验都不可能出现，则是不可能事件。
例如，在相同条件下，抛掷一个骰子，可能出现的点数有1点、2点、3点、4点、5点和6点。
对于事件：出现3点来说，则是一个随机事件，因为每次试验，可能出现也可能不出现。
对于事件：出现的点数小于7来说，则是一个必然事件。
对于事件：出现的点数大于7来说，则是一个不可能事件。

概率及其性质

虽然，随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生会呈现出一定的规律性。
例如，抛硬币这个试验，每一次出现正面或者反面无法确定，但是大量进行这个试验后，发现出现正面或者反面的次数几乎相等。
所以，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)。
概率从数量上反映了一个事件发生可能性的大小。
假设进行n次试验，随机事件A发生了m次，则其概率记为：

P(A)=\frac{m}{n}=p

【例】某电子公司所属企业职工人数如下表所示，从该公司随机抽取一人，问：
1、该职工为男性的概率是多少？
2、该职工为手机公司职工的概率是多少？

分公司	男职工	女职工	合计
电脑公司	4400	1800	6200
手机公司	3200	1600	4800
半导体公司	900	600	1500
合计	8500	4000	12500

概率的性质

对于概率来说，有以下性质：
1、对于任一随件时间A，有0\leq P(A)\leq1。
2、必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
P(\emptyset)=0,P(\Omega)=1。
3、设\overline A是A的对立事件，则P(A)=1-P(\overline A)
4、若A与B互斥（不同时发生），则P(A∪B)=P(A)+P(B)
5、对于任意两个事件A，B，有P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)，所以性质4可以看作是性质5的特例。

【例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中有30%读甲报纸，15%读乙报纸，10%两种报纸都读，成年人中有百分之几至少读一种报纸？

条件概率

有些时候，我们需要讨论在某个条件下，事件发生的概率。例如，掷骰子，出现点数2的概率是1/6，因为总共有6个点数。如果在已知偶数点的条件下，那么出现点数2的概率则是1/3，因为偶数点总共有2,4,6三种情况。
所以，条件概率是指当某一事件B已经发生时，事件A发生的概率，称这种概率为事件B发生条件下事件A发生的条件概率（conditional probability），记为P(A|B)。用数学语言表达就是：

P(A│B)=\frac{P(AB)}{P(B)},P(B)>0

一个栗子：掷骰子：B：出现偶数点，A：出现2点的概率。
【例】100件产品中，有80件正品，20件次品；而80件正品中有50件一等品，30件二等品。现从这100件产品中任取1件，用A表示“取到一等品”，B表示“取到正品”，求P(A)及P(A|B)。

乘法公式

根据条件概率公式，有

P(AB)=P(B)P(A│B)

将A,B的位置对换，有

P(BA)=P(A)P(B│A)

而

P(BA)=P(AB)

所以

P(AB)=P(A)P(B│A)

【例】设有1000件产品，其中850件是正品，150件是次品，从中依次抽取2件，2件都是次品的概率是多少？

如果两个事件A，B，其中一个事件发生与否与不会影响另一个事件发生的概率，则称A与B是相互独立的。
当A与B相互独立时，则有P(B|A)=P(B)，所以乘法公式简化为：

P(AB)=P(A)P(B)

全概率公式

贝叶斯公式

随机变量及其分布函数

随机变量的数字特征

常用分布