什么是函数？
函数，英文名是function，所以取首字母f表示函数，一般表示为f(x)，这里的x表示自变量。
考虑生活中的现象，路程等于速度乘以时间，假设速度恒定，对于不同的时间，就会对应不同的路程，这是一个最简单的数学问题，用s表示路程，v表示速度，t表示时间，则有关系式：s=vt。
在这个关系式中，t叫作自变量（自己变化），s叫作因变量（因自变量而变化），这两个变量形成的关系称为函数，记为f(t)=vt。
将时间t的取值看成是一个集合，路程s的取值看成是一个集合，按照法则f将时间t映射到路程s上，所以，函数可以看成是一种映射，本质是变量之间的关系。
又比如，圆的面积公式：S=\pi r^2，半径r是自变量，面积S是因变量，给定一个半径r，就有一个唯一的面积S与之对应，这也是一个函数关系式。
上面说的两个函数，自变量的取值都必须大于等于零，例如时间t只能取大于等于零的数，半径r也是如此，必须大于等于零，自变量的取值范围叫作函数的定义域，对应的因变量的取值范围叫作值域，显然，上面这两个函数的值域也是大于等于零。
函数中的自变量通常用x来表示，因变量用y来表示，函数关系式用y=f(x)表示，不同的函数，函数关系式也不同。
总结一下，函数的定义：
设x和y是两个变量，D是一个给定的非空实数集合，如果对于任意x属于D，按照一定的法则，变量y总有唯一确定的值与之对应，则称变量y是变量x的函数，记作y=f(x)，其中x称作自变量，y称作因变量。
举个例如，y=1也是一个函数，只是这个函数比较特殊，无论自变量x取什么值，因变量的值都是1,这种函数也称为常数函数。
这里要注意的是对于每一个自变量x，都有一个唯一确定的y与之对应，尽管它们都相等。
分段函数
函数家族中有很多成员，其中一种叫分段函数。
例如，函数：
H(x)=\begin{cases}
-1，x<0, \\
0，x=0, \\
1，x>0
\end{cases}
这个函数，不用的x取值将函数值分成了三段，我们称之为分段函数。图像如下。
反函数
反函数，就是函数的逆过程，例如根据时间求路程是一个函数，反过来，根据路程求时间就是反函数。
t=\frac{s}{v}
一般地，y=f(x),x\in D的反函数记为：f^{-1}(y)=x,x\in f(D).
复合函数
复合函数就是两个函数复合构成一个新的函数.
例如，函数u(x)=(x+1)^2，其中y=x+1本身就是一个函数，记为g(x)=x+1，而平方可以看作是函数f=x^2，函数u(x)可以看作是函数g(x)和函数f(x)的复合函数。
复合函数的概念为：
设函数y=f(u)的定义域为D_f，函数u=g(x)的定义域为D_g，且其值域R_g\subset D_f，则由下式确定的函数
y=f[g(x)],x\in D_g
称为由函数u=g(x)与函数y=f(u)构成的复合函数，它的定义域为D_g，变量u称为中间变量。
常见的初等函数
在初高中数学中，即所谓的初等数学，学习了很多函数，我们称之为初等函数，主要由以下一些。
- 幂函数：y=x^n
- 指数函数：y=a^x
- 对数函数：y=\log_a x
- 三角函数：正弦函数y=\sin x，余弦函数y=\cos x，正切函数y=\tan x等。
- 反三角函数：如反正弦函数y=\arcsin x，反余弦函数y=\arccos x等。
这就是微积分中函数的概念。
