多元线性回归的矩阵表示

多元线性回归涉及多个自变量,假设有n个自变量,x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n
多元线性回归方程为:

y=w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n+b

如果有m个样本,则会有m个这样的方程:

\begin{cases}
y_1=w_1x_{11}+w_2x_{12}+\cdots+w_nx_{1n}+b \\
y_2=w_1x_{21}+w_2x_{22}+\cdots+w_nx_{2n}+b\\
\cdots\\
y_m=w_1x_{m1}+w_2x_{m2}+\cdots+w_nx_{mn}+b
\end{cases}

把它写成矩阵的形式:

y=w^TX+b

其中X是一个矩阵,

X=\begin{bmatrix}
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\
x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1n}\\
\end{bmatrix}

有时候,为了方便后续运算,将参数w和自变量x扩充一下,即

w=(w_1,w_2,\cdots,w_n,b)

对于第一个样本来说,

(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n})

变成

(x_{11},x_{12},\cdots,x_{1n},1)

则多元线性回归的矩阵形式为:

y=w^TX

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