前面学习了数列的极限，而数列可以看作是自变量为n的函数：x_n=f(n),n\in \N_+,所以数列\lbrace x_n \rbrace的极限为a，其实就是当自变量n取正整数而无限增大（即n\rightarrow \infty）时，对应的函数值f(n)无限接近于常数a。
接下来，讨论函数的极限。
函数极限的定义
对于函数来说，当自变量变化的时候，因变量也会随之变化。
函数加极限就会产生函数极限这个概念，就是在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个数，则这个数就是这一变化过程中函数的极限。
首先，要说的是不同的变化过程，会对应不同的极限。
对于函数极限来说，通常有两种变化过程：一种是自变量趋于某个有限值的函数极限，另一种是自变量趋于无穷大时的函数极限。
自变量趋于某个有限值时的函数极限
例如，对于函数y=x来说，当自变量x趋于1的时候，函数值趋于1，事实上，当x=1时，函数值y=1，这个很好理解。
函数值趋于1，用数学语言表示为：x\rightarrow1，假设x_0=1，则表示为：x\rightarrow x_0
以下给出函数极限的定义：
设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\epsilon（一个很小的数），总存在正数\delta，使得当x满足条件0<|x-x_0|<\delta时，对应的函数值f(x)都满足：
|f(x)-A|<\epsilon
那么常数A就叫作函数f(x)当x\rightarrow x_0时的极限，记作
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A
或者
f(x)\rightarrow A(x\rightarrow x_0)
还可以使用更加简洁的数学语言来描述：
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \epsilon>0,当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-A|<\epsilon
自变量趋于无穷大时的函数极限
再看函数y=\frac{1}{x}，由于x在分母上，所以x不能等于零，只能趋近于零，当x\rightarrow +\infty时，函数值会趋于零，此时函数极限存在，为零。这个就叫当自变量趋于无穷大时的函数极限。
总结一下，就是对于x\rightarrow \infty这一过程，对应的函数值f(x)无限接近某个确定的数值A，那么A叫作函数f(x)当x\rightarrow \infty时的极限。
以下给出定义：
设函数f(x)当|x|大于某个正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数\epsilon（一个很小的数），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都满足不等式
|f(x)-A|<\epsilon
那么常数A就叫作函数f(x)当x\rightarrow\infty时的极限，记作
\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=A
或者
f(x)\rightarrow A(x\rightarrow \infty)
函数极限的性质
和数列极限类似，函数极限有以下三条常用的性质。
- 唯一性：如果\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在，那么这个极限唯一。
-
局部有界性：如果\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，那么存在常数M>0和\delta>0，使得当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)|\leq M。
证明：
因为\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A,所以取\epsilon=1,则\exist\delta>0,当0<|x-x_0|<\delta时,有
|f(x)-A|<1 \Rightarrow |f(x)| \leq |f(x)-A|+|A|<|A|+1
记M=|A|+1，则得证。
- 局部保号性：如果\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，且A>0(或A<0)，那么存在常数\delta>0，使得当0<|x-x_0|<\delta，有f(x)>0(f(x)<0)。
证明：就A>0的情形证明。
因为\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=A，所以，取\epsilon=\frac{A}{2}>0，则\exist \delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有
|f(x)-A|<\frac{A}{2} \Rightarrow f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0
类似地，可以证明A<0的情形。
以上就是微积分中的函数极限。
