前面学习了带有佩亚诺型的泰勒公式，由于这个公式无法估算误差的大小，所以我们学习另外一种余项的泰勒公式，即带有拉格朗日余项的泰勒公式。
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
其中R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n-1},\xi介于x_0与x之间.
这里的R_n(x)就是拉格朗日余项。
下面给出泰勒中值定理2及其证明。
泰勒中值定理2：如果函数f(x)在x_0的某个邻域内具有n+1阶导数，那么对这邻域中的任一x，有
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
其中
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n-1}
\xi介于x_0与x之间。
证明：记R_n(x)=f(x)-p_n(x)，由假设可知，R_n(x)具有n+1阶导数，且
R_n(x_0)=R_n'(x_0)=R_n”(x_0)=\cdots=R_n^{(n)}(x_0)=0
对下式应用柯西中值定理，有
\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n(x)-R_n(x_0)}{(x-x_0)^{n+1}-0}=\frac{R_n'(\xi)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}(\xi_1介于x_0与x之间)
再继续应用柯西中值定理，有
\frac{R_n'(\xi)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}=\frac{R_n'(\xi_1)-R_n'(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n-0}=\frac{R_n”(\xi_2)}{(n+1)n(\xi_2-x_0)^{n-1}}(\xi_2介于x_0与\xi_1之间)
以此类推，经过n+1次柯西中值定理之后，有
\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}=\frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
其中，\xi介于x_0与\xi_n之间，当然也在x_0与x之间。
因为p_n^{(n+1)}(x)=0，所以R_n^{(n+1)}(x)=f^{(n+1)}(x)，上式可以写为
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n-1}
证毕。
有了这个泰勒中值定理之后，用多项式p_n(x)近似表达函数f(x)时，误差为|R_n(x)|，对于某个n,|f^{(n+1)}(x)|\leq M，则有
|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n-1}|\leq \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
这样就估计出了误差的大小。
在以上泰勒公式中，如果取x_0=0，那么泰勒公式简化为
f(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)
这个公式称为带有佩亚诺余项的麦克劳林公式
在以上式子中，取x_0=0，则\xi介于0到x之间，可以令\xi=\theta x(0<\theta<1)，此时泰勒公式简化为
f(x)=f(0)+f'(0)x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}(0<\theta<1)
这个式子称为带有拉格朗日余项的麦克劳林公式。
有了麦克劳林公式，则
f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f”(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
误差估计式变为
|R_n(x)|\leq \frac{M}{(n+1)!}|x|^{n+1}
以上就是泰勒中值定理2的内容。
