导数，是微积分中的一个重要概念，导数，也叫微商，当然不是微信中的微商，而是两个微小的差值作商，用公式表示如下：
\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
当x\rightarrow x_0时，分子是一个微小的差值，分母也是一个微小的差值，两者作差，得到的就叫作微商，我们称之为导数。
切线问题
然而，什么是导数呢？从几何的角度看，导数就是切线的斜率。
例如，如下图所示的曲线，任取一点M，再任取另外一点N，用一条直线连接这两点，这条直线叫作割线。
假设点M的横坐标为x_0，点N的横坐标为x，如下图所示。
则割线AB的斜率为：
\tan \varphi=\frac{y-y_0}{x-x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
保持点x_0不动，让点x不断趋近于点x_0，这条割线就会变化，当点x无限趋近于点x_0时，这条割线就会与曲线相切，我们称之为切线，如下图所示。
切线的斜率用以下极限表示：
k=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
上式中，极限k就是割线斜率的极限，也就是切线的斜率。
导数的定义
以下给出导数的定义：
设函数y=f(x)在点x_0的某个领域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量\Delta x，相应地，因变量取得增量\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)，如果\Delta y与\Delta x之比当\Delta x\rightarrow 0时的极限存在，那么称函数y=f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x_0处的导数，记为f’(x_0)，即
f'(x_0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
导数也可以记作
y’|_{x=x_0},\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}
或
\frac{df(x)}{dx}\big|_{x=x_0}
在实际生活中，经常遇到的变化快慢的问题本质就是导数的问题，例如速度的变化快慢，即加速度，而加速度其实就是速度的导数，反映了速度变化的快慢。
求导举例
例1：求函数f(x)=C的导数。
解：
f'(x)= \lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{C-C}{h}=0}}
也就是说，常数的导数等于零。
例2：求函数f(x)=x^n的导数。
解：
当n=1时，
f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)-x}{h}}=1
当n>1时，
\begin{aligned}
f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{\frac{(x+h)^n-x^n}{h}} \\
& =\lim_{h\rightarrow 0}{[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}]=nx^{n-1}}
\end{aligned}
总之，有以下结论。
(x^n)’=\begin{cases}
1, \quad n=1 \\
nx^{n-1}, \quad n>1
\end{cases}
以上就是微积分中的导数。
