函数可微的条件

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上一节学习了函数的微分，本节讨论函数可微的条件。
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，则根据函数可微的定义有下式成立。

$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$

两边除以 $\Delta x$ ，有

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$

当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时，就有

$A=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)$

所以，如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可微，那么 $f(x)$ 在点 $x_0$ 一定可导，且 $A=f'(x_0)$ 。

反之，如果 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，即

$A=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)$

存在，而根据极限与无穷小的关系，上式可以写成

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0)+\alpha$

其中， $\alpha\rightarrow 0$ ，当 $\Delta x\rightarrow0.$
所以得到

$\Delta y=f'(x_0)\Delta x+\alpha\Delta x$

因为 $\alpha\Delta x=o(\Delta x)$ ，而且 $f'(x_0)$ 不依赖于 $\Delta x$ ，所以上式等于

$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$

所以 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是可微的。

上述过程揭示了函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微的充分必要条件是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，而且当 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可微时，其微分为

$dy=f'(x_0)\Delta x$

以上就是函数可微的条件。