所谓泰勒中值定理，其实就是不同余项的泰勒公式。
前面我们只是找了一个多项式来近似表示函数f(x)。
如果要写成等于的形式，就需要给这个多项式加上一个误差项，即余项。
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
上面这个式子中R_n(x)就是余项，也叫做误差项，我们将这个余项R_n(x)叫作佩亚诺余项。
这个式子表示的就是泰勒中值定理1，定理的完整表述如下。
如果函数f(x)在x_0处具有n阶导数，那么存在x_0的一个邻域，低于该邻域内的任一x，有
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
其中R_n(x)=o((x-x_0)^n).
接下来，我们来证明这个定理。
证明：记R_n(x)=f(x)-p_n(x)，则
R_n(x_0)=R’_n(x_0)=R”_n(x_0)=\cdots=R^{(n)}_n(x_0)=0
因为f(x)在x_0处有n阶导数，因此f(x)在x_0的某邻域内存在(n-1)阶导数，从而R_n(x)也在该邻域内(n-1)阶可导，则
\begin{aligned}
\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}&=\lim_{x\to x_0}\frac{R_n'(x)}{n(x-x_0)^{n-1}}=\lim_{x\to x_0}\frac{R_n”(x)}{n(n-1)(x-x_0)^{n-2}} \\
& = \cdots = \lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{(n-1)}(x)}{n!(x-x_0)} \\
&=\frac{1}{n!}\lim_{x\to x_0}\frac{R_n^{n-1}(x)-R_n^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0} \\
& =\frac{1}{n!}R_n^{(n)}(x_0)=0
\end{aligned}
以上证明过程其实很简单，只不过多次使用洛必达法则，因此R_n(x)=o((x-x_0)^n)，证毕。
以上就是泰勒中值定理1，这个定理的表达式给出了泰勒公式的误差，可以看出这个误差是当x\to x_0时比(x-x_0)^n高阶的无穷小，但是我们无法得知具体误差的大小，如果需要估算具体误差的大小，请看下一节。
