对一个函数求导一次,得到的导数叫作一阶导数。
如果在这个导数的基础上继续求导,得到的导数就叫作二阶导数。
以此类推,如果对一个函数求导n次,得到的导数就是n阶导数。
物理学中有个通俗的例子,我们知道,速度反映的是位移的变化率,相当于对位移函数求导,得到的就是速度的函数。
\frac{ds}{dt}=v
而加速度反映的是速度的变化率,相当于对速度函数求导,得到的就是加速度的函数。
\frac{dv}{dt}=a
加速度相当于对位移函数的二阶导数。
\frac{d}{dt}(\frac{ds}{dt})=a
将二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
对于二阶导数,可以记作y”或\frac{d^2y}{dx^2}
类似的,n阶导数记作y^{(n)}或\frac{d^ny}{dx^n}
例1:y=ax+b,求y”。
解:
y’=a,y”=0
例2:y=\sin wt,求y”。
解:
y’=w\cos wt,y”=-w^2\sin wt
例3:求指数函数y=e^x的n阶导数。
解:
由于y’=e^x,y”=e^x,y”’=e^x,所以
y^{(n)}=e^x