前面我们学习了极限，接触到了无穷小与无穷大，通俗地说，无穷小就是一个非常小的数，无穷大呢，自然就是一个非常大的数，可是这种表述太模糊，下面用严格的数学语言来描述无穷小与无穷大。
无穷小
例如，极限\lim_{x\rightarrow1}(x-1)=0，所以函数x-1称为当x\rightarrow1时的无穷小。
用数学的语言表示如下。
如果函数f(x)当x\rightarrow x_0的极限为零，则函数f(x)为当x\rightarrow x_0时的无穷小。
零，是一个可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果f(x)=0，则它的极限就是零，级对于任意给定的\epsilon>0，总有|f(x)|<\epsilon，这里的\epsilon表示给定的任意小的正数，前面我们用它来描述极限。
无穷小与极限
无穷小与极限有很密切的关系，因为对于函数f(x)+\alpha，如果\alpha为无穷小，则函数f(x)+\alpha的极限为A，对f(x)+\alpha取极限，很容易得到。
所以，有以下定理：
在自变量的同一变化过程x\rightarrow x_0中，函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)=A+\alpha，其中\alpha是无穷小。
证明：先证必要性。
设\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=A，则\forall \epsilon >0,\exist \delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有
|f(x)-A|<\epsilon
令\alpha=f(x)-A，则\alpha是当x\rightarrow x_0时的无穷小，且
f(x)=A+\alpha.
这就证明了f(x)等于它的极限A与一个无穷小\alpha之和。
再证充分性。
设f(x)=A+\alpha，其中A是常数，\alpha是当x\rightarrow x_0时的无穷小，于是
|f(x)-A|=|\alpha|
因为\alpha是当x\rightarrow x_0时的无穷小，所以\forall \epsilon>0，\exist \delta>0，使当0<|x-x_0|<\delta时，有
|\alpha|<\epsilon
即
|f(x)-A|<\epsilon
这就证明了A是f(x)当x\rightarrow x_0时的极限。
以上定理对于x\rightarrow\infty的过程依然成立。
无穷大
无穷大跟无穷小正好相反，例如，对于函数\frac{1}{x-1}，当x\rightarrow1时，函数趋近于无穷大。
用数学的语言表示为：
设函数f(x)在x_0的某一去心领域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M，不论它有多大，总存在正数\delta（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x_0|<\delta(或|x|>X)，对应的函数值f(x)总满足不等式
|f(x)|>M
那么称函数f(x)是当x\rightarrow x_0(或x\rightarrow\infty)时的无穷大。
按照函数极限的说法，当x\rightarrow x_0时无穷大的函数f(x)的极限不存在，或者说函数的极限是无穷大，记作
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty
无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大之间有明显的关系，例如，函数f(x)=x-1，当x\rightarrow1时为无穷小，取一个倒数，即\frac{1}{x-1}就为无穷大。
所以，有以下定理：
在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么\frac{1}{x}无穷小，反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)\neq0，那么\frac{1}{f(x)}为无穷大。
证明：
设\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=\infty.
\forall \epsilon>0.根据无穷大的定义，对于M=\frac{1}{\epsilon},\exist \delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有
|f(x)|>M=\frac{1}{\epsilon}
即
|\frac{1}{f(x)}|<\epsilon
所以\frac{1}{f(x)}为当x\rightarrow x_0时的无穷小。
反之，设\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=0，且f(x)\neq 0.
\forall M>0.根据无穷小的定义，对于\epsilon=\frac{1}{M},\exist \delta>0，当0<|x-x_0|<\delta时，有
|f(x)|<\epsilon=\frac{1}{M}
由于当0<|x-x_0|<\delta时f(x)\neq 0，从而
|\frac{1}{f(x)}|>M
所以\frac{1}{f(x)}为当x\rightarrow x_0时的无穷大。
以上就是无穷小与无穷大。
