通过前面的学习，我们知道极限其实就是一个函数值，一个数值，所以我们可以对极限进行运算，极限的运算无非就是加减乘除等四则混合运算。
而极限跟无穷小有着密切的关系，所以下面会先说说无穷小的运算。
无穷小的运算法则
定理1：两个无穷小的和是无穷小。
我们知道，极限为零的函数叫作无穷小，两个极限为零的函数的和的极限仍然是零，即无穷小。
证明：设\alpha及\beta是两个无穷小，令\gamma=\alpha+\beta
\forall \epsilon>0.因为\alpha是当x \rightarrow x_0时的无穷小，对于\frac{\epsilon}{2}>0,\exist \delta_1>0，当0<|x-x_0|<\delta_1时，不等式
|\alpha|<\frac{\epsilon}{2}
成立。
又因为\beta是当x \rightarrow x_0时的无穷小，对于\frac{\epsilon}{2}>0,\exist \delta_2>0，当0<|x-x_0|<\delta_2时，不等式
|\beta|<\frac{\epsilon}{2}
成立。
取\delta=\min\lbrace \delta_1,\delta_2 \rbrace，则当0<|x-x_0|<\delta时，|\alpha|<\frac{\epsilon}{2}和|\beta|<\frac{\epsilon}{2}同时成立，从而
|\gamma|=|\alpha+\beta|\leq \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
这就证明了\gamma也是当x \rightarrow x_0时的无穷小。
定理2：有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。
对于有界函数来说，一定有一个最大值，而无穷小是极限为零的函数，两者相乘必然也是零，即无穷小。
关于无穷小还有以下两个推论：
1. 常数与无穷小的乘积是无穷小。
2. 有限个无穷小的乘积是无穷小。
极限又分为数列极限和函数极限，所以下面分成函数极限的运算法则和数列极限的运算法则两个方面来说。
函数极限的运算法则
函数极限的运算有以下三个结论：
设\lim f(x)=A,\lim f(x)=B，那么
1、\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=A\pm B
2、\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=A\cdot B
3、若B\neq0，则\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}
关于函数极限的运算还有以下两个推论：
1、如果\lim f(x)存在，而c为常数，那么\lim[cf(x)]=c\lim f(x)。
2、如果\lim f(x)存在，而n是整数，那么\lim[f(x)]^n=[\lim f(x)]^n。
数列极限的运算法则
对于数列极限，也有类似的运算法则。
设有数列\lbrace x_n \rbrace和\lbrace y_n \rbrace，且
\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=A,\lim_{n\rightarrow\infty}y_n=B
那么，有以下三个结论：
1、\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B
2、\lim_{n\rightarrow\infty}(x_n\cdot y_n)=A\cdot B
3、当y_n\neq0且B\neq0时，\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}
复合函数的极限运算法则
对于复合函数，有如下运算法则：
设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f[g(x)]在点x_0的某去心领域内有定义，若\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=u_0,\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A，且存在\delta_0>0，当x\in \mathring U(x_0,\delta_0)时，有g(x)\neq u_0，则
\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=\lim_{u\rightarrow u_0}f(u)=A.
以上就是关于极限的运算法则。
