我们用函数来描述自然界中的现象，而自然界中的现象有两种：连续和离散（或间断），例如气温的变化就是连续的，在某个范围内可以任意取值，而年龄的变化是离散的，因为年龄只能取正整数，离散也可以认为是间断，所以函数也有连续和间断的概念。
由于我们一般用函数来描述连续的事物或现象，所以对函数来说，连续是常态，而间断则是特殊情况，需要去分类讨论。
函数的连续性
在讨论连续性之前，需要先了解一个概念：增量，设变量u从它的一个初值u_1变到终止u_2，终值与初值的差u_2-u_1就叫作变量u的增量，记作\Delta u，即
\Delta u=u_2-u_1
当然，增量\Delta u可能为正，也可能为负。有了增量这个概念，下面给出函数连续的定义。
连续的定义：设函数y=f(x)在点x_0的某一领域内有定义，如果
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0
，那么就称函数y=f(x)在点x_0连续.
又因为，如果设x=x_0+\Delta x，则\Delta x\rightarrow 0其实就是x\rightarrow x_0，而\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f(x)-f(x_0)，所以\Delta y\rightarrow0就是f(x)\rightarrow f(x_0)，总之有
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
所以，函数y=f(x)在点x_0连续的定义又可以叙述如下：
设函数y=f(x)在点x_0的某一领域内有定义，如果
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
那么就称函数f(x)在点x_0连续。
函数连续的定义用\epsilon-\delta语言表达如下。
f(x)在点x_0连续\Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\exist \delta>0，当|x-x_0|<\delta时，有|f(x)-f(x_0)|<\epsilon.
左连续与右连续
如果\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0^-)存在且等于f(x)，即f(x_0^-)=f(x_0)，那么就说函数f(x)在点x_0左连续。
如果\lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=f(x_0^+)存在且等于f(x)，即f(x_0^+)=f(x_0)，那么就说函数f(x)在点x_0右连续。
在某个区间上每一点都连续的函数，叫作在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续。
连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。
函数的间断点
函数的间断，也叫不连续，有以下三种情况。
1、在x=x_0没有定义；
2、虽然在x=x_0有定义，但\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)不存在；
3、虽然在x=x_0有定义，且\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)存在，但\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\neq f(x_0)。
满足以上三种情况之一，称函数f(x)在点x_0不连续，而点x_0称为函数f(x)的不连续点或间断点。
例如，正切函数y=\tan x在x=\frac{\pi}{2}处没有定义，所以点x=\frac{\pi}{2}是函数\tan x的间断点。又因为
\lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x=\infty
所以x=\frac{\pi}{2}是函数\tan x的无穷间断点。
又比如，函数y=\frac{x^2-1}{x-1}在点x=1没有定义，所以函数在点x=1为不连续。但由于
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}(x+1)=2
如果补充定义：x=1,y=2，则函数在x=1时连续，所以x=1称为该函数的可去间断点。
通过上面的一些例子，可以将函数的间断点分为两类：
第一类间断点：$x_0$是函数$f(x)$的间断点，但左极限$f(x_0^-)$及右极限$f(x_0^+)$都存在，则$x_0$为函数$f(x)$的第一类间断点。
第二类间断点：不属于第一类间断点的称为第二类间断点，例如上面的无穷间断点等。
以上就是函数的连续与间断。
