前面学习了导数的定义，理论上来说，按照导数的定义可以求任何函数的导数，然后在实际中遇到的问题如果都用定义去求导，就太麻烦了，我们需要了解一些基本的求导法则，才能够快速地解决问题。
函数的四则混合运算的求导法则
函数的四则混合运算是指函数的和、差、积、商，有以下定理。
定理：如果函数u(x)和v(x)都在点x有导数，则它们的和、差、积、商（分母不为零）都在点x有导数，且
(1)[u(x)\pm v(x)]’=u'(x) \pm v'(x)
(2)[u(x)v(x)]’=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
(3)[\frac{u(x)}{v(x)}]’=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x)\neq 0)
证明：
(1)
\begin{aligned}
& [u(x)\pm v(x)] \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{[u(x+ \Delta x) \pm v(x+\Delta x)]-[u(x)\pm v(x)]}{\Delta x}} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}} \pm \lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}} \\
& =u'(x)\pm v'(x)
\end{aligned}
法则(1)可以简单地表示为：
(u\pm v)’=u’\pm v’
(2)
\begin{aligned}
& [u(x)v(x)]’ \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}.v(x+\Delta x)+u(x).\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}] \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}.\lim_{\Delta x\rightarrow 0}v(x+\Delta x)+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \\
& =u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
\end{aligned}
法则(2)可以简单地表示为：
(uv)’=u’v+uv’
(3)
\begin{aligned}
[\frac{u(x)}{v(x)}]’&=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)v(x)-u(x)v(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]v(x)-u(x)[v(x+\Delta x)-v(x)]}{v(x+\Delta x)v(x)\Delta x} \\
& =\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}v(x)-u(x)\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}}{v(x+\Delta x)v(x)} \\
& =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}
\end{aligned}
法则(3)也可以简单地表示为：
(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}
反函数的求导法则
对于反函数来说，有一个结论：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
用数学语言描述有以下定理。
定理：如果函数x=f(y)在区间I_y内单调可导且f'(y) \neq 0，那么它的反函数y=f^{-1}(x)在区间I_x=\lbrace x|x=f(y),y\in I_y \rbrace内也可导，且
[f^{-1}(x)]’=\frac{1}{f'(y)}
或
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
证明：
由于x=f(y)在I_y内单调可导，所以x=f(y)的反函数x=f^{-1}(x)存在，且f^{-1}(x)在I_x内也单调连续。
任取x\in I_x，给x以增量\Delta x，由y=f^{-1}(x)的单调性可知
\Delta y=f^{-1}(x+\Delta x)-f^{-1}(x)
于是有
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}
因为y=f^{-1}(x)连续，所以
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\Delta y=0
从而
[f^{-1}(x)]’=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{1}{\frac{\Delta x}{\Delta y}}=\frac{1}{f'(y)}
证毕。
复合函数的求导法则
复合函数也有其求导法则，有以下定理。
定理：如果函数u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为
\frac{dy}{dx}=f'(u).g'(x)
或
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}
证明：
由于y=f(u)在点u可导，所以
\lim_{\Delta\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)
存在，根据极限与无穷小的关系有
\frac{\Delta y}{\Delta u}=f'(u)+o(\Delta u)
上式中，用\Delta u乘以两边，得
\Delta y=f'(u)\Delta u+o(\Delta u).\Delta u
当\Delta u=0时，规定o(\Delta u)=0，此时因为\Delta y=f(u+\Delta u)-f(u)=0，上式依然成立。
当\Delta x\neq 0时，用\Delta x同时除以上式两边，得
\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+o(\Delta u).\frac{\Delta u}{\Delta x}
两边取极限，有
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}[f'(u)\frac{\Delta u}{\Delta x}+o(\Delta u).\frac{\Delta u}{\Delta x}]
根据函数u=g(x)在某点可导必连续的性质知道，当\Delta x\rightarrow 0时，\Delta u\rightarrow 0，从而
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}o(\Delta u)=\lim_{\Delta u\rightarrow 0}=0
又因为函数u=g(x)在点x处可导，于是
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}=g'(x)
故
\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(u).\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}
即
\frac{dy}{dx}=f'(u).g'(x)
正毕。
求导法则总结
为了便于同学们查阅，这里将常用的导数公式及求导法则总结如下。
1. 基本初等函数的导数公式
\begin{aligned}
& (C)’=0 \qquad&(x^{\mu})’=\mu xx^{\mu-1} \\
& (\sin x)’=\cos x \qquad&(\cos x)’=-\sin x \\
& (\tan x)’=\sec^2 x \qquad&(\cot x)’=-\csc^2 x \\
& (\sec x)’=\sec x\tan x \qquad&(\csc x)’=-\csc x\cot x \\
& (a^x)’=a^x \ln a(a>0,a\neq 1) \qquad&(e^x)’=e^x \\
& (\log_a^x)’=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\neq 1) \qquad&(\ln x)’=\frac{1}{x} \\
& (\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad&(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
& (\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2} \qquad&(arccot x)’=-\frac{1}{1+x^2}
\end{aligned}
- 函数的和、差、积、商的求导法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
\begin{aligned}
& (u\pm v)’=u’\pm v’ \qquad&(Cu)’=Cu’ \\
& (uv)’=u’v+uv’ \qquad&(\frac{u}{v})’=\frac{u’v-uv’}{v^2}
\end{aligned}
- 反函数的求导法则
如果函数x=f(y)在区间I_y内单调可导且f'(y) \neq 0，那么它的反函数y=f^{-1}(x)在区间I_x=\lbrace x|x=f(y),y\in I_y \rbrace内也可导，且
[f^{-1}(x)]’=\frac{1}{f'(y)}
或
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}
- 复合函数的求导法则
如果函数u=g(x)在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为
\frac{dy}{dx}=f'(u).g'(x)
或
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}
