前面学习了拉格朗日中值定理，即如果连续曲线在区间[A,B]上可导且连续，那么在该曲线上至少有一点C，使得曲线在点C处的切线平行于弦AB.
如果将该曲线方程写成参数方程的形式，即
\begin{cases}
x=\varphi(t) \\
y=\psi(t)
\end{cases}
其中，a\leq t\leq b，则曲线上某点(x,y)出的切线的斜率为
\frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}
而弦AB的斜率为
\frac{\psi(b)-\psi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}
假设点C对应参数t=\xi，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB可以表示为
\frac{\psi(b)-\psi(a)}{\varphi(b)-\varphi(a)}=\frac{\psi'(\xi)}{\varphi'(\xi)}
这就是函数在参数方程形势下的拉格朗日中值定理的表达形式，其实就是所谓的柯西中值定理。
柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足以下三个条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x\in(a,b),F'(x)\neq 0,
那么在(a,b)内至少有一点\xi，使等式
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
成立.
要想证明这个定理也很简单，首先需要引入辅助函数
\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)
当然，这里的F(b)-F(a)\neq 0，因为
F(b)-F(a)=F'(\eta)(b-a)
其中a<\eta<b，根据假定F'(\eta)\neq 0，而b-a\neq 0，所以F(b)-F(a)\neq 0.
回到辅助函数，\varphi(x)在闭区间[a.b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且
\varphi(a)=\varphi(b)=\frac{F(b)f(a)-F(a)f(b)}{F(b)-F(a)}
根据罗尔定理，在(a,b)内至少有一点\xi，使得
\varphi'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F'(\xi)=0
所以
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
证毕.
在以上公式中，如果取F(x)=x，则F(b)-F(a)=b-a,F'(x)=1，则以上公式变为
f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\quad (a<\xi<b)
这不就是拉格朗日中值定理的公式吗？
所以，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形。
