洛必达法则是求极限的神器，例如，要求以下极限
\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}\quad(b\neq 0)
对于这个问题，如果直接对分子分母分别求极限，会发现分子极限为零，分母极限也为零，从而\frac00，无法得出结果。
有了洛必达法则，就简单了，首先分别对分子、分母求导，然后再取极限，计算如下。
\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim_{x\to 0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx}=\frac ab
所以，如果当x\to a时，两个函数f(x)与F(x)都趋于零，那么它们比值的极限\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}可能存在，也可能不存在，这种极限通常称为未定式，简记为\frac 00型。
关于这种类型的问题，有洛必达法则，即以下定理。
定理：如果
（1）当x\to a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；
（2）在点a的某个去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)\neq 0；
（3）\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}存在
则
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}
也就是最开始的例子中使用的这样：
\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\lim_{x\to 0}\frac{a\cos ax}{b\cos bx}
这种通过对分子分母分别求导再取极限的方法称为洛必达（L’Hospital）法则。
例如，求极限
\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}
这属于\frac 00型，通过洛必达法则可以这样来求
\lim_{x\to 0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x}=\frac 16
在上述计算过程中，用了两次洛必达法则。
这个定理（洛必达法则）的证明也不难。
证明：
根据条件（1）、（2）可知，f(x)及F(x)在点a的某一邻域内是连续的，设x是这个邻域内的一点，那么在区间[x,a]上，利用柯西中值定理，有
\frac{f(x)}{F(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\quad \xi\in(x,a)
当x\to a时，\xi\to a，对上式两端取极限，有
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{F(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
再利用条件（3），就得到证明的结论。
当然，如果\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}仍属于\frac 00型，且f'(x),F'(x)仍然满足定理中的条件，那么就可以继续用洛必达法则，以此类推。
