泰勒公式本质上是用一些简单的函数来近似一个复杂的函数，而多项式函数就是一种较简单的函数。
例如，当|x|很小时，有
e^x\approx 1+x,\quad \ln(x+1)\approx x
这些其实是用一次多项式来近似表达函数。
又比如，对于正弦函数y=\sin x，我们可以用一个多项式函数来表示，如下。
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
这个其实就是所谓的泰勒公式。
现在思考一个问题：
设f(x)在x_0处具有n阶导数，我们想找出一个关于(x-x_0)的n次多项式来近似表达f(x).
p_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n \tag{1}
误差是当x\to x_0时比(x-x_0)^n高阶的无穷小。
假设p_n(x)在x_0处的函数值及它的直到n阶导数在x_0处的值依次与f(x_0),f'(x_0),\cdots,f^{(n)}(x_0)相等，即
p_n(x_0)=f(x_0),p_n'(x_0)=f'(x_0),p_n”(x_0)=f”(x_0),\cdots,p_n^{(n)}=f^{(n)}(x_0)
接着，按照这些等式来确定多项式(1)的系数a_0,a_1,a_2,\cdots,a_n.
对多项式(1)求各阶导数，然后分别代入以上等式，有
a_0=f(x_0),1\cdot a_1=f'(x_0), 2!\cdot a_2=f”(x_0),\cdots,n!a_n=f^{(n)}(x_0)
即
a_0=f(x_0),a_1=f'(x_0),a_2=\frac{1}{2!}f”(x_0),\cdots,a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)
这样就得到了所有的系数，将这些系数代入多项式(1)，得
p_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)
这个多项式其实就是我们要找的n次多项式，也就是所谓的泰勒公式。
下一节将会介绍泰勒中值定理。
